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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para $x \rightarrow +\infty$ como para $x \rightarrow -\infty$) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
e) $f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}$
e) $f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}$
Respuesta
Asíntotas verticales
Como el dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{-1,1\}$, entonces $x=-1$ y $x=1$ son nuestros candidatos a asíntota vertical. Para ver si efectivamente lo es necesitamos tomar los límites:
👉 En $x=-1$
$ \lim_{{x \to -1^-}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = -\infty$
$ \lim_{{x \to -1^+}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = +\infty $
👉 En $x=1$
$ \lim_{{x \to 1^-}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = -\infty $
$ \lim_{{x \to 1^+}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = +\infty $
Por lo tanto, $x=-1$ y $x=1$ son asíntotas verticales de $f$.
Asintotas horizontales
Para estudiar si hay asíntotas horizontales, tenemos que tomar límite cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$
\lim_{{x \to +\infty}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = +\infty
$
$
\lim_{{x \to -\infty}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = -\infty
$
Asíntotas oblicuas
Sabemos que la asíntota tiene la forma \(y = mx + b\). En la clase de asíntotas vimos que, si existe asíntota oblicua, los valores de $m$ y $b$ van a salir de plantear:
$
m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}
$
$
b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - mx \right)
$
Arrancamos primero buscando $m$.
$ m = \lim_{{x \to \pm\infty}} \frac{x^3}{x(x^2 - 1)} = \lim_{{x \to \pm\infty}} \frac{x^3}{x^3 - x} = 1 $
Ahora, calculamos \( b \):
$
b = \lim_{{x \to \pm\infty}} \left(\frac{x^3}{x^2 - 1} - x\right) = \lim_{{x \to \pm\infty}} \frac{x^3 - x^3 + x}{x^2 - 1} = \lim_{{x \to \pm\infty}} \frac{ x}{x^2 - 1} = 0$
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es $y = x$